windows-1251Фрагмент из книги А.Т. Фоменко

Фрагмент из книги А.Т. Фоменко и Ко о датировке звездного каталога Альмагеста.

----------------------------

Как видит читатель, проблема датировки "Альмагеста" достаточно трудна и нуждается в тщательном анализе каталога.

В нашем исследовании мы сначала классифицируем, ошибки, содержащиеся в каталоге, на 3 типа: выбросы, систематические и случайные. Выбросами мы называем грубые ошибки в координатах. Они достаточно легко обнаруживаются, и при расчетах соответствующие звезды не должны приниматься во внимание. Такие ошибки могли возникать при переписывании каталога многочисленными копиистами. Систематическими мы называем ошибки, которые могут быть получены единообразно либо для всего каталога, либо для больших его частей. Типичным примером такой ошибки является неправильное определение (наблюдателем) положения эклиптики на небесной сфере. Подобные ошибки могут быть обнаружены статистически и затем компенсированы. Случайными мы называем ошибки, которые скомпенсированы принципиально быть не могут (например, случайные ошибки измерений, не имеющие регулярной составляющей). Излагаемые ниже методы направлены, таким образом, на то, чтобы очистить каталог от выбросов, скомпенсировать систематические ошибки и попытаться

датировать каталог в условиях наличия лишь случайных ошибок.

Мы классифицируем лишь сами погрешности, а не их причины (которые здесь для нас безразличны).

Каждая звезда в каталоге характеризуется эклиптикальной широтой и долготой. В ряде исследований (см., например, Р. Ньютон [356]) достоверность значений долгот ставится под сомнение. Кроме того, известно, что измерение долгот - дело существенно более сложное, чем измерение широт (требующее помимо прочего наличия часов). Поэтому есть серьезные основания считать долготы измеренными менее точно, чем широты. Поэтому в своем методе мы анализировали лишь широты звезд "Альмагеста". Таким образом, в нашей работе дополнительно утверждается, что возможна датировка "Альмагеста", использующая лишь' информацию о широтных невязках.

Работоспособность метода была подтверждена путем анализа каталогов Т. Браге, Улугбека, Гевелия и ряда искусственно сформированных (при помощи компьютера) каталогов. Во всех случаях полученные нашим методом даты совпали с заранее известными.

Предварительная работа по выявлению выбросов в "Альмагесте" во многом проделана в широко известных исследованиях (см., например, [372]). Мы считали выбросами те звезды, у которых значение широтных невязок превосходило 1°. Кроме явных выбросов каталог содержит звезды, отождествление которых (со звездами современного неба) сомнительно. В упомянутой работе К. Петерса и Е. Кнобеля [372] такие случаи также отмечены. Один пример был уже приведен выше: звезда 02 Эридана. Поэтому для исключения всех таких сомнительных случаев необходимо очистить каталог от неоднозначно отождествляемых звезд. Мы проверили список из более чем 80 быстрых звезд из современного каталога [375]. Из них в "Альмагесте", как выяснилось, отражено около 35 звезд. Затем (при помощи компьютера) мы выявили из них множество звезд, имеющих неоднозначное отождествление. Количество таких звезд невелико и равно 3. Они были исключены из рассмотрения. Таким образом, наш анализ в основном подтвердил правильность отождествления подавляющего большинства звезд

"Альмагеста", приведенного в [372].

Перейдем к анализу систематических ошибок. Если рассмотреть какую-нибудь совокупность звезд, то систематическая ошибка, в положении этих звезд на сфере может состоять только лишь в перемещении совокупности звезд как единого целого по небесной сфере. Такое перемещение имеет три степени свободы и, следовательно, может быть описано путем задания трех параметров.

Однако поскольку мы интересуемся лишь широтными невязками, то достаточно рассмотреть только двухпараметрические вращения сферы. С вычислительной точки зрения удобно задать это вращение с помощью параметров

j и g рис. 8.4), где параметр j задает ось, вокруг которой вращается сфера, а g представляет собой угол поворота. Именно, мы выбираем в качестве j угол между осью весеннего равноденствия, рассчитанной на какой-либо год t, и осью поворота, лежащей в плоскости эклиптики, также относящейся к году t.

Итак, если предположить, что каталог составлялся в год t и истинные широта и долгота какой-либо звезды были равны b(t) и l(t) соответственно, то в результате ошибки в определении положения эклиптики, параметризуемой

g=g(t) и j=j(t), составитель каталога запишет в каталог координаты b'(t) и 1'(t).

С очень большой точностью можно считать, что b'(t)=b(t)+

gsin(l(t)+j). Последняя формула справедлива при условии, что составитель не делал никакой ошибки измерений. Если ошибка измерений присутствовала, (а она присутствовала неизбежно) и равнялась z то b'(t)=b(t)+gsin(l(t)+j+z). Последняя формула справедлива для всех звезд рассматриваемой совокупности, и, следовательно, можно поставить статистическую проблему оценки параметров j и g для данной совокупности звезд. Оценки параметров j и g можно найти, например, методом наименьших квадратов, когда j и g являются решением следующей задачи: е(bi-bi(t)-g*sin(li(t)+ j )) ® min, где суммирование производится по всем звездам i из рассматриваемой совокупности, bi - широта i-й звезды в каталоге "Альмагеста", bi(t), li(t) - истинные широта и долгота звезды i в году t. Решением этой задачи являются параметры jstat(t) и gstat(t), задающие ошибку в определении положения эклиптики при условии, что каталог был составлен в году t, а минимальное значение суммы представляет собой квадрат среднеквадратичной широтной ошибки в рассматриваемой совокупности звезд после компенсации систематической ошибки. Назовем это минимальное значение "остаточной ошибкой", т. е. ошибкой, которая остается в каталоге после компенсации систематической составляющей.

Мы рассмотрели следующие семь совокупностей звезд (семь областей звездного неба "Альмагеста"). Область М - это Млечный Путь (рис. 8.5). Область А - это большая область справа от Млечного Пути, содержащая точку осеннего равноденствия и завершающаяся зодиаком,. Область В - это меньшая часть слева от Млечного Пути, содержащая точку весеннего равноденствия и завершающаяся зодиаком. Область С - это южная часть неба справа от Млечного Пути, расположенная за зодиаком. Область D - это южная часть неба слева от Млечного Пути, расположенная за зодиаком. Область Zod А - это часть зодиака, попавшая в область А. Область Zod В - это другая часть зодиака, попавшая в область В.

Область А - самая большая из них. Через Zod мы обозначим все звезды зодиака (в "Альмагесте").Для каждой из этих совокупностей звезд были найдены графики функций

jstat(t) и gstat(t) вместе с соответствующими доверительными интервалами. На рис. 8.6 показан вид этих кривых для области Zod А.

Также мы нашли среднеквадратичные ошибки до и после компенсации систематических ошибок. Анализ данных показывает, что наиболее хорошо измеренными совокупностями звезд являются множества А и Zod А. На каком основании сделан этот вывод? Во-первых, сравниваются исходная и остаточная ошибки. Если это снижение значительно (как у Zod А, где ошибка снижается с уровня 22' до 13'), то есть основания говорить о малой величине случайной ошибки. Во-вторых, принимается во внимание размер доверительной области для обнаруженных параметров -

jstat(t) и gstat(t). Так, для областей Zod А и А ширина доверительного интервала для gstat(t) составляет всего около 10', а, например, для области D - существенно больше.

Кроме того, как говорилось, снижение ошибки от первоначального уровня до "остаточного" для области D незначительно. Поэтому говорить об уверенном определении систематической ошибки для этой части неба нельзя. Можно лишь утверждать, что ошибка лежит в пределах доверительной области. Но такое неточное значение систематической ошибки для данной области (например, для D) приводит к тому, что мы не имеем права основывать наши последующие заключения на рассмотрении координат звезд из групп, обладающих подобными свойствами. Это замечание очень важное и будет нами использовано в дальнейшем. Напомним, что цена деления шкалы каталога "Альмагеста" составляет 10 минут, т. е. это "заявленная точность" каталога, т. е. точность, на которую претендовал составитель каталога. Другой вопрос: смог ли он реально достичь такой точности? Этот вопрос был решен нами описанным выше методом. Кроме того, таким же приемом были изучены и отдельные созвездия. Это позволило установить, что систематические ошибки, найденные для больших участков неба, в основном совпадают с систематическими ошибками, обнаруживающимися при анализе отдельных созвездий. Оказалось, в частности, что созвездия Рыбы, Овен, Телец, Водолей относятся к группе плохо измеренных созвездий, а Близнецы, Рак, Лев, Дева, Весы, Скорпион, Стрелец, Козерог - к группе хорошо измеренных созвездий. (Здесь мы говорим о созвездиях зодиака.) Это согласуется с выводами, сделанными на основе рассмотрения больших совокупностей звезд (по нескольку сотен звезд в каждой совокупности).

Далее, хотя величины

jstat(t) и gstat(t) мы определили с помощью методов математической статистики, это, вообще говоря, не дает оснований считать их систематическими ошибками, они отвечают лишь "средним" отклонениям координат по всем звездам из рассматриваемой совокупности. Но это не противоречит тому случаю, когда отдельные созвездия имеют разные систематические ошибки, так что в итоге получается найденная нами выше ошибка. Расчеты показали, что отдельные зодиакальные созвездия из части Zod А имеют одну и ту же погрешность g»20’, но отличающиеся друг от друга погрешности j. Такую же погрешность g имеет и часть А звездного неба. Забегая вперед, скажем, что такую же погрешность g имеет и совокупность именных звезд из части неба А (т. е. звезд, снабженных в "Альмагесте" собственными именами). Все это говорит о том, что ошибка g является единой для всех созвездий из части неба А. Иное положение с ошибкой j. Она варьируется от созвездия к созвездию. Можно дать вполне естественное объяснение этому обстоятельству, если предположить, что координаты звезд измерялись с помощью армиллярной сферы (стандартный средневековый и античный инструмент). При этом угол между плоскостями эклиптики и экватора (включающий ошибку g) фиксируется в инструменте, а угол j меняется от одной серии измерений к другой. Впрочем, это объяснение не используется нами далее.

Из проведенных рассуждений следует практический вывод: мы вправе (для части неба А) использовать найденное значение

gstat в качестве систематической ошибки, содержащейся в звездном каталоге. Сразу же возникает вопрос: насколько допустимо использование одного параметра (а именно gstat) и игнорирование другого (а именно jstat )? Для ответа на него удобно перейти от параметризации ошибки с помощью величин j и g к параметризации ошибки через величины взаимно перпендикулярных наклонов g и b (см. рис. 8.4), где g, как и прежде, означает ошибку в положении эклиптики, а b - ошибку в положении экватора. Нетрудно показать, что b»jЧg (в этой формуле углы измеряются в радианах), т. е. если, например, g»20', а j»10°, то b»3'. Преимущество параметров g и b состоит в том, что они равноправным образом действуют на положение плоскости эклиптики. Учитывая, что (как показали вычисления) всегда b <<g (в реальности b << 5'), то основной вклад (с точностью до » 20%) в широтные невязки вносит составляющая g. Именно учет этой составляющей и положен нами в схему датировки каталога. При этом мы получаем право использовать доверительные интервалы Stg только для величины gstat(t), что упрощает вычисления.

Выводы.

1. Для звезд из каталога "Альмагеста" обнаружена систематическая ошибка

gstat(t) - Эта ошибка уверенно вычисляется для совокупностей звезд А и Zod А, содержащих большую часть северных и зодиакальных звезд каталога.

Эта ошибка может быть обнаружена методом наименьших квадратов. Значение

gstat(t) представляет собой угол поворота эклиптики относительно ее истинного положения в году t при условии, что каталог составлен в году t. Для величины gstat(t) находится также доверительный интервал St , смысл которого следующий: истинное значение gstat(t) лежит в этом интервале с вероятностью не меньше р (в нашей работе было принято р = 0,998). Итогом является построение кривой gstat(t) и соответствующей доверительной полосы (рис. 8.7).

Рис. 8.7

2. Проведенный статистический анализ позволяет утверждать, что гипотеза о том, что в каталоге присутствует единая систематическая ошибка, не может быть отвергнута. Именно доверительные области для найденных значений

gstat(t) для всех рассмотренных совокупностей звезд (больших и малых) имеют непустое пересечение, содержащее значения gstat(t), определенные для совокупностей звезд А и Zod А.

3. Систематическая ошибка в частях неба В, D, М определяется с большой погрешностью, что не дает оснований выбирать звезды из этих частей неба для целей датировки.

4. Проведенный анализ подтвердил, что в совокупностях звезд А и Zod А после компенсации систематической ошибки более половины звезд оказываются измеренными с широтной ошибкой менее 10'. Тем самым выясняется, что претензии составителя каталога "Альмагеста" на точность в 10' состоятельны.

5. Ошибка

jstat(t) не является "единой" для всех созвездий и, таким образом, не может считаться систематической. Однако ее влияние на широтные невязки звезд много меньше влияния ошибки g.

Перейдем к датировке каталога "Альмагеста". Проведенный анализ систематических ошибок позволил сделать вывод, что части неба А и Zod А каталога "Альмагеста" измерены наиболее точно. Поэтому для целей датировки нами были взяты звезды именно из части неба А. Однако путем только компенсации систематической ошибки датировать каталог невозможно. Для целей датировки необходимо знать, какие именно звезды составитель каталога измерял наиболее тщательно.

------------------

Гипотеза 1

. Наиболее тщательно измерялись именные звезды, Таких звезд в части A на ее границе девять: Арктур, Спика, Процион, Аселли, Превиндемиатрикс, Регул, Антарес, Лира (=Вега), Капелла. Одна из этих звезд — Превиндемиатрикс —из рассмотрения была исключена, так как наблюденные Птолемеем ее координаты неизвестны (см. детали в [372]). Отметим, что большинство из этих звезд находится в области неба Zod А (см. рис. 8.5), что косвенно подтверждает сформулированную гипотезу. Именные звезды — это знаменитые, яркие звезды.

Гипотеза 2. В момент измерения широтные ошибки всех именных звезд не превосходили 10'.

Если принять гипотезы 1 и 2, то их следствием явится следующий метод датировки каталога.

Рассмотрим при каждом t доверительное множество St, найденное на этапе определения систематических ошибок. Найдем подмножество Еt, содержащееся в St и обладающее следующим свойством. Если величина g такова, что g принадлежит Еt , то при компенсации этой систематической ошибки широтные невязки выбранных именных звезд становятся меньше 10'. Тогда совокупность всех моментов времени, таких что подмножество Еt не пусто, дает нам все возможные моменты датировки каталога. Рис. 8.8 иллюстрирует данный метод.

Применение этого метода к каталогу "Альмагеста" ' показало, что интервал возможных датировок каталога следующий: от 600 г. н. э. до 1300 г. н. э. За пределами этого интервала каталог составлен быть не мог.

При применении описанного метода возникает следующая проблема (которая уже частично затрагивалась). Систематическая ошибка, которая играет столь важную роль в нашем методе, была определена статистически по достаточно большой совокупности звезд. Но сама дата составления каталога определялась по совокупности из восьми именных звезд.

Вообще говоря, нельзя априори исключить случай, что координаты этих звезд измерялись отдельно либо были взяты из более ранних наблюдений. Но тогда систематическая ошибка для этой совокупности именных звезд (образующих хорошо заметный базис опорных точек на небе) была бы в общем случае отлична от определенной выше (по массе всех звезд). Поэтому необходимо проверить, так или это. Именно при каждом t необходимо рассмотреть совокупность широт данного набора именных звезд "Альмагеста" и затем необходимо наилучшим образом совместить их с соответствующими истинными широтами. Если при таком совмещении окажется, что систематическая ошибка для выделенного малого числа именных звезд (всего в "Альмагесте" 12 именных звезд) совпадает с ошибкой, определенной по большому числу звезд (не именных), то это означает, что данные именные звезды — из той же генеральной совокупности, что и все рассмотренные звезды, и, следовательно, могут быть использованы для целей датировки.

Выделим те моменты времени, когда максимальная широтная невязка по именным звездам будет менее 10'. Эти моменты времени также являются претендентами на дату составления каталога. Совершенно очевидно, что эта процедура может приводить лишь к расширению ранее определенного временного интервала. Оказывается (и это нетривиально!), что расширения интервала времени не происходит!

Выводы.

1. Восемь именных звезд из части А каталога "Альмагеста" имеют систематическую ошибку, близкую к найденной выше ошибке для всех звезд из части А.

2. При условии компенсации этой ошибки широтные невязки всех именных звезд из части А не превосходят 10 минут во временном интервале 600 - 1300 гг. н.э.

3. Не существует поворота звездной сферы, приводящего к 10-минутной максимальной широтной невязке именных звезд за пределами найденного нами интервала возможных датировок: 600 - 1300 гг. н.э.

Обсудим устойчивость метода. Метод базировался на предположении, что систематические ошибки приводят к повороту звездной сферы как жесткого целого. Однако можно рассмотреть и ошибки, приводящие к деформации этой сферы. Такие ошибки возникают, например, если измерительные круги армиллярной сферы неидеальны. Возникает законный вопрос, могут ли такие искажения звездной сферы привести к смещению найденного интервала датировки: 600 - 1300 гг. н.э. до 100 г. н.э. или даже до 100 г. до н.э. Данный вопрос легко исследуется геометрически, и ответ на него следующий. Для того чтобы возможный интервал датировок, захватил 100 г. н.э. (не говоря уже о 100 г. до н.э.), необходимо допустить превращение звездной сферы в эллипсоид, главные полуоси которого отличаются друг от друга не менее чем на 4%. Это очень большое искажение, невозможное при конструировании астрономических инструментов.

Далее, естественно спросить, а что будет, если действительная точность звездного каталога составляет не 10', а более? Расчеты показали, что увеличение порога с 10' до 17' хотя и приводит к расширению интервала возможных датировок, но расширенный интервал по-прежнему не захватывает 100 г. н.э. Традиционная дата составления каталога "Альмагеста" попадает в возможный интервал датировок лишь в предположении, что точность каталога была не 10', а 18' или более. При этом, однако, интервал возможных датировок распространится от начала новой эры до наших дней, т. е. определить дату составления каталога не представится возможным.

[356] - Ньютон Р. Преступление Клавдия Птолемея. – М.: Наука, 1985.

[372] - Peters C.H.F., Knobel E.B. Ptolemy’s catalogue of stars. Washington.: The Carnegie Ins. Of Washington, 1915.

[375] - Hofflit D. The Star Catalogue . – Yale Univ. Obs. New Haven Connecticqut, USA , 1982.

Обзор чехол для note 2 с флипом черный. | Купить клатч интернет-магазин